Question

请问微分方程中那个齐次方程是什么意思 它的那个公式是怎么算出来的 书上的公式我没看懂

请高人详细指教
我说的是一阶微分方程 就是它怎么和U（x）那个函数联系上的？

Answer 1

齐次方程就是它的常数项为0

我们设y = e^zx，可得：
z^n*e ^zx + A1*z^(n-1)*e ^zx + …… + An*e ^zx=0

两边除以e `zx，便得到了一个n次方程：
F(z)=z^n+ A1*z^(n-1)+ …… + An =0
这个方程F(z) = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项 d^k y/d x^k
换成zk，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z1, ..., zn。把任何一个解代入e^zx，便可以得到微分方程的一个解：e^zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y = C1e` z1x + C2e` z2x + …… + Cne` znx，其中C1、C2、……、Cn是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是，可以验证，如果z是特征方程的n重根，那么，对于，就是微分方程的一个解。于是，原微分方程的通解就是y = C1 e ^zx + C2 x e^ zx + C3 x2 e^ zx + …… + Cn x(n-1)e^ zx。

一般地，如果微分方程的系数Ai都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a + bi是特征方程的根，那么a - bi也是一个根。于是，y = e^ (a + bi)x和y = e ^(a - bi)x都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y = e^ axcosbx。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y = e^ axsinbx。于是，y = C1e ^axcosbx + C2e^ axsinbx就是微分方程的通解。

Answer 2

AX=0就是齐次方程，AX=B就是非齐次方程。(A为n行n列)齐次方程中A进行初等行变换，得出A的秩，基础解析的个数k=n-r(a),假如k=3,n=4,则令基础解析分别为列向量X2=（1，0，0，0）（不好意思列向量的格式不知怎么输）X3=（0.，1，0，0），X4=（0,0,1,0）带入原式，解得X1的值。最后写出通解就可以了。
希望对你有帮助！