Question

帮忙解决一个数学题

直线y=kx+1与双曲线2x^2-y^2=1的右支交于不同的两点A,B.
1.求K的范围。
2.’是否存在实数K，使得以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点
第一问可以不解 关键第二问 用斜率做 但有个地方我不会做

Answer 1

（1）
直线l与双曲线的右支交于不同的两点A，B
这说明方程组：
y=kx+1
2x^2-y^2=1
中x有2个不相等的正数根。
即：2x^2 - (kx+1)^2 = 1 有2个不等的正数根，整理一下：
(2-k^2)x^2 - 2kx - 2 = 0

因此：
x1 + x2 = 2k/(2-k^2) > 0 ……（1）
且 x1 * x2 = -2/(2-k^2) > 0 ……（2）
且 △ = (-2k)^2 + 8(2-k^2) = 16-4k^2 > 0 ……（3）

由（2），得：k^2 > 2
由（3），得：k^2 < 4
由（1）÷（2）得：k<0
所以，k的范围为：-2<k<-√2

（2）
假设存在这样的k，则根据圆的性质，AF与BF垂直。
先求F的坐标。双曲线的a=√2/2，b=1，则c=√6/2，F的坐标为(√6/2, 0)
设A、B坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则由AF垂直BF，得：AF的斜率 * BF的斜率 = =1
因此：
[ y1 / (x1 - √6/2) ] * [ y2 / (x2 - √6/2) ] = -1
整理，得：
y1*y2 = -x1*x2 + (√6/2)(x1+x2) - 3/2

由于y = kx+1，所以：y1*y2 = (kx1 + 1)(kx2 + 1) = k^2*x1*x2 + k(x1+x2) + 1
而x1 + x2 = 2k/(2-k^2)，x1 * x2 = -2/(2-k^2)
代入，得：
5k^2 + 2√6k - 6 = 0
解得：k = (-√6 - 6) / 5（k<0，舍去正根）
比较得到，这个k落在(-2, -√2)范围内。

所以k存在，且k = (-√6 - 6) / 5

Answer 2

这种复杂的问题在纸上都要用到一两页的纸了 更何况在百度上打出来呢 ？就算会也没这个闲情呀

Answer 3

右焦点F(根号6/2,0) AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 向量FA*向量FB=0
向量FA=(x1-根号6/2,y1), 向量FB=(x2-根号6/2,y2)
向量FA*向量FB=x1*x2-根号6/2(x1+x2)+y1*y2
联立 y=kx+1和2x^2-y^2=1 (2-k^2)x^2-2kx-2=0 x1+x2=2k/(2-k^2) x1*x2=-2/(2-k^2)
y1*y2=k^2x1*x2+k(x1+x2)+1
向量FA*向量FB=x1*x2-根号6/2(x1+x2)+y1*y2=k^2-(2+根号6)k=0 k=2+根号6

Answer 4

将y=kx+1代入双曲线2x^2-y^2=1得（k^2-2)x^2+2kx+2=0，设A(x1，y1),B(x2，y2),
AB中点坐标[(x1+x2)/2，(y1+y2)/2}，右焦点(跟6/2,0) 右焦点与AB两点的连线组成的角为直角，建立等式,
解出,再检验即可

Answer 5

设AB坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
由双曲线方程可求出右焦点C的坐标
将直线方程代入双曲线方程可得（2-k^2)x^2-2kx-2=0,
所以，x1+x2=k/(2-k^2), x1*x2=(3k^2-4)/(2-k^2),y1*y2=(kx1+1)*(kx2+1)=k^2x1x2+k(x1+x2)+1=(自己算吧）
AB为直径，C点在圆上，根据圆的基本定理可知角ACB为直角，所以过AC的直线斜率与过BC线的斜率相乘等-1
所以，求出两直线的斜率再化简，把上面的x1+x2， x1*x2，y1*y2都代进去，最后可化为一条只含k的方程，求出k就行了，这些你应该会的，用键盘打太麻烦，我就不打出具体的了
希望能帮到你

Answer 6

2、以 AB 为直径的圆过右焦点F2。就是说AF2，BF2垂直。焦点F2坐标（√6／2,0）直线带入曲线得（2-k²）x²-2kx-2=0,设A（x1,y1）,B(x2,y2).求出AF2，BF2斜率，二者的积=-1。就行了。
有（2-k²）x²-2kx-2=0得x1+x2=2k／(2-k²),x1x2=-2／(2-k²),y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=1.二者斜率的积=y1y2／[(x1-√6／2)(x2-√6／2)]=-1.带入解得5k²+2√6k-6=0
k=±6／5-√6／5.又所要求的是右只，所以x1x2＞0,x1+x2＞0.k＜-√2.
综上，K==-6／5-√6／5。
我是专门搞圆锥曲线的。