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nihaoedu ,你好:
此题用向量做很简单,用几何做则比较麻烦。不知你学过向量没。我写下来吧。
证明,记BD/DC=CE/EA=AF/FB=k, 设大三角形的重心为G, 小三角形的重心为G',
由重心的性质知,(下面均为向量形式)GA+GB+GC=0 (1),G‘E+G’F+G‘D=0 (2),G’A=G‘E+EA,G’B=G‘F+FB,G’C=G‘D+DC (3),而EA=1/(1+k)CA, FB=1/(1+k)
AB,DC=1/(1+k)BC,(4) 下面是重点,要证两重心重合,即证GG‘=0:
GG’=GA+AG‘=GA-G’A 联立以上几式,最后得GG'=K(AB+BC+CA)=0,故重合。
此题用向量做很简单,用几何做则比较麻烦。不知你学过向量没。我写下来吧。
证明,记BD/DC=CE/EA=AF/FB=k, 设大三角形的重心为G, 小三角形的重心为G',
由重心的性质知,(下面均为向量形式)GA+GB+GC=0 (1),G‘E+G’F+G‘D=0 (2),G’A=G‘E+EA,G’B=G‘F+FB,G’C=G‘D+DC (3),而EA=1/(1+k)CA, FB=1/(1+k)
AB,DC=1/(1+k)BC,(4) 下面是重点,要证两重心重合,即证GG‘=0:
GG’=GA+AG‘=GA-G’A 联立以上几式,最后得GG'=K(AB+BC+CA)=0,故重合。
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设BD : DC = CE : EA = AF : FB = γ
根据矢量加法有 矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB) = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心,有 矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而 矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= (矢量OB + 矢量BD) + (矢量OC + 矢量CE) + (矢量OA + 矢量AF)
= (矢量OA + 矢量OB + 矢量OC)+ (矢量BD + 矢量CE + 矢量AF)
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心。问题得证。
注:这里用到一个定理:
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0
根据矢量加法有 矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB) = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心,有 矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而 矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= (矢量OB + 矢量BD) + (矢量OC + 矢量CE) + (矢量OA + 矢量AF)
= (矢量OA + 矢量OB + 矢量OC)+ (矢量BD + 矢量CE + 矢量AF)
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心。问题得证。
注:这里用到一个定理:
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0
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先令A、B、C坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)
边的比例为一常数n
则边上各点D坐标为((x1+(x3-x1)/n),(y1+(y3-y1)/n))
E、F点同理推之
再用重心坐标公式分别计算两个三角形的重心,结果相等,证毕
重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
边的比例为一常数n
则边上各点D坐标为((x1+(x3-x1)/n),(y1+(y3-y1)/n))
E、F点同理推之
再用重心坐标公式分别计算两个三角形的重心,结果相等,证毕
重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
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至于证明线段(包括求长度,或者倍数关系)的,就稍微难一点,有一点不容质疑,几乎所有你觉得有难度的题的线段关系,都是与和差有关的,要不就是 别的什么了。
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;就好好规划首先:令A、B、C坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)边的比例为一常数n
则边上各点D坐标为((x1+(x3-x1)/n),(y1+(y3-y1)/n))
vk
则边上各点D坐标为((x1+(x3-x1)/n),(y1+(y3-y1)/n))
vk
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