Question

一道比较简单的线性代数题目

题目请看图片，望高手指点，谢谢！

Answer 1

为方便,记原题中的A,B分别为A(n),B(n),所求2n阶行列式记为C(2n).
记n*1的0矩阵为0(n),其转置记为:0'(n).
如此,对C(2n)按第一行展开,有:
C(2n)=a*| A(n-1); B(n-1), 0(n-1);
B(n-1); A(n);
0'(n-1); --------------;|
+(-1)^(1+2n)*b* | 0(n-1), A(n-1) ; B(n-1);
B(n); A(n-1);
--------------- 0'(n-1).|
可知,+号之前的行列式,右下角的元素为a,而它所在行及所在列的其它元素均为0;
又可知,+号之后的行列式,左下角的元素为b,而它所在行及所在列的其它元素均为0;
故得:C(2n)=a*a*C(2n-2) - b*b*(-1)^(2n-1+1)*C(2n-2)
=(a^2-b^2)*C(2n-2).
即得递推公式:C(2n) = (a^2-b^2)*C[2(n-1)].
而C(2)=a^2-b^2.
故:C(2n)=(a^2 - b^2)^n