Question

线性代数,求四个向量线性相关的充分必要条件

求出 α1=(2,2,4,a), α2=(-1,0,2,b), α3=(3,2,2,c), α4=(1,6,7,d),该四个向量线性相关的充分 必要条件. 那么我书上只有一个答案 答案是:a=b+c.那么哪位帮我列出其证明计算过程。
这是自学考试 线性代数（经管类） 代码为4184的教材上的课后练习。题目在第94页。

Answer 1

因为α1=(2,2,4,a), α2=(-1,0,2,b), α3=(3,2,2,c), α4=(1,6,7,d),该四个向量线性相关
所以存在不全为零的数x,y,z,w，使得xα1+yα2+zα3+wα4=0,把α1，α2，α3 ，α4代入
得到方程组2x-y+3z+w=0
2x +2z+6w=0
4x+2y+2z+7w=0
ax+by+cz+dw=0, 这个方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为0（或者是系数矩阵的秩<4),解得即为a=b+c。

Answer 2

线性相关的充分必要条件是由a1，a2，a3，a4组成的向量组，即A=（a1，a2，a3，a4）的行列式的值为0，det（A）=0，解得即为a=b+c，这儿只需记住一句话：几个向量线性相关的充分必要条件是由这几个向量组成的矩阵的行列式的值为0。

Answer 3

就是有非零的xyzw满足
xa1+ya2+za3+wa4=0
很容易发现x=1,y=-1,z=-1,w=0是一个解
于是a-b-c=0成立。

Answer 4

它的轶R（a1,a2.a3,a4)<4，也就是说轶小于向量的个数就是线性相关的，否则就是线性无关的。轶用初等行变换来求，就是非0行的行数。（记得加分哟！)