Question

如图,△ABC的两条角平分线BD、CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+BE=BC

如图,△ABC的两条角平分线BD、CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+BE=BC
（最好有因为所以过程！！）

Answer 1

证明:连接OA,由O点向AB、AC、BC作垂线，垂足分别为N、M、K

     ∵O点是∠B和∠C角平分线的交点

   ∴O是△ABC的内心

   ∴OA也是∠A的角平分线

     由角分线定理可知

   OM=ON

   在四边形ANOM中

∵∠A=60°∠ANO=∠ADO=90°

∴∠MON=120°

∵∠A=60°

∴∠B+∠C=120°

∴∠OBC+∠OCB=1/2（∠B+∠C)=60°

∴∠BOC=∠ADE=120°

∵∠EON=∠ADE-∠ADN=120°-∠ADN

 ∵∠DOM=∠MON-∠ADN=120°-∠ADN

∴∠EON=∠DOM

在Rt△EON和Rt△DOM中

   ∠EON=∠DOM(已证）

   OM=ON

  ∴ Rt△EON≌Rt△DOM

 ∴EN=DM  (这个结论非常重要）

∵Rt△BON≌Rt△BOK       Rt△COK≌Rt△COM

 ∴BK=BN   CK=CM

∵BE=BN-EN   CD=CM+DM

∴BE+CD=BN-EN+CM+DM

∵EN=DM(已证）

∴BE+CD=BN+CM=BK+CK=BC

结论成立

Answer 2

在BC边上取点F，使BF＝BE，连结OF。
∵BD平分∠ABC，BF＝BE，BO是公共边，
∴△BEO≌△BFO →∠EOB＝∠FOB＝∠COD
∵∠A＝60°
∠EOB＝∠CBO＋∠BCO， BD、CE是

∵∠EOB＝1/2（180°－60°）＝60°
则∠COF＝180°－∠FOB－∠COD＝60°
又∵CE是
，CO是公共边，
∠COF＝∠COD＝60°（已证）
∴△COF≌△COD →CF＝CD
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD

Answer 3

因为两条平行线bd,ce
所以bo+od=oc+oe
又因为角a=60
所以∠b+∠c=180-60=120
所以∠b=∠c=60
又因为be=dc
suoyi