Question

在1～2000个自然数中最多取出多少个数,使其中任意两个数的和不是3的倍数?

Answer 1

1～2000中，被3除
余1的有1、4、……、1999，共667个
余2的有2、5、……、2000，共667个
余0的有3、6、……、1998，共666个

因此，最多取余1（或余2）的一组667个数，再取余0的一组中任1个数，共668个数。
可使其中任意两个数的和不是3的倍数。
根据抽屉原理，此时无论再多取剩下的任何数中的1个，都会使其中有两个数的和是3的倍数。

Answer 2

全取除3余1或余2的，被三整除的最多一个。然后计算下，除三余一有667个，余2也是667个，整除666个，那就是最多取出668个数（如1、4、7、11.....1996、1999、3）。

Answer 3

之多668个。2000个数中，其中有667个数都是3余1的数，如1、4、7。。。；另外可以再找任意1个3的倍数。

Answer 4

最多取1～2000中被3除余1（或余2）的一组667个数，再取余0的一组中任1个数，共668个数。
可使其中任意两个数的和不是3的倍数。
此时无论再多取剩下的任何数中的1个，都会使其中有两个数的和是3的倍数。