问一道高二数学空间角题
在直三棱柱ABO-A‘B’O‘中，oo’=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是棱A‘B’的中点，P是侧棱BB‘上一点，OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切...
在直三棱柱ABO-A‘B’O‘中，oo’=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是棱A‘B’的中点，P是侧棱BB‘上一点，OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值
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)∵∠AOB=90°,ABO-A'B'O'是直三棱柱
∴AO⊥平面BOO'B',BB'⊥平面AOB
∴OP与平面AOB所成角为∠BOP
取B'O'中点Q,连DQ
∵D是中点
∴DQ‖A'O'‖AO
∴DQ⊥平面BOO'B'
∵OP⊥BD
∴OP⊥BQ
∴∠BOP+∠OBQ=∠OBQ+∠B'BQ=90°
∴∠BOP=∠B'BQ
∵tan∠B'BQ=B'Q/BB'=(3/2)/4=3/8
∴tan∠BOP=3/8,即OP与平面AOB所成角正切值为3/8
∴AO⊥平面BOO'B',BB'⊥平面AOB
∴OP与平面AOB所成角为∠BOP
取B'O'中点Q,连DQ
∵D是中点
∴DQ‖A'O'‖AO
∴DQ⊥平面BOO'B'
∵OP⊥BD
∴OP⊥BQ
∴∠BOP+∠OBQ=∠OBQ+∠B'BQ=90°
∴∠BOP=∠B'BQ
∵tan∠B'BQ=B'Q/BB'=(3/2)/4=3/8
∴tan∠BOP=3/8,即OP与平面AOB所成角正切值为3/8
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