Question

已知0＜α＜π/2＜β＜π，tanα/2=1/2，sin（α+β）=5/13，求cosβ

Answer 1

tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]=4/3
sec²α=tan²α+1=25/9
∵ 0<α<π/2
∴ secα=5/3，cosα=3/5，sinα=4/5
∵π/2<α+β<π，sin(α+β)=5/13，∴cos(α+β)=-12/13
故 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-(12/13)·(3/5)+(5/13)·(4/5)=-16/65

Answer 2

楼上解法很不错，但是不够严密
π/2<α+β<π
从题干中不能得出这个结论，因此要考虑sin(α+β)=-5/13的情况
用同样算法，还有一个答案是-56/65

Answer 3

因为α∈（0，π），所以α/2∈（0，π/2），
所以sinα=2sinα/2cosα/2=(2sinα/2cosα/2)/(sin^2α/2+cos^2α/2)
=(2tanα/2)/(tan^2α/2+1)=1/(1/4+1)=4/5>0
cosα=(cos^2α/2-sin^2α/2)/(sin^2α/2+cos^2α/2)
=(1-tan^2α/2)/(1+tan^2α/2)=3/5>0
由此可见:α为锐角.即0<α<π/2
又因为:-π<α-β<π,sin(α-β)=5/13>0
所以:0<α-β<π,而0<α<π/2,0<β<π
所以：0<α-β<π/2
所以：cos(α-β)=12/13
所以： cosβ=cos[α-(α-β)]＝coaαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=56／65

Answer 4

tana=1
a=π/4
(根2/2)cosb+(根2/2)√(1-cos^2b)=5/13
根2/2=0.707
(0.3846-0.707cosb)^2=0.5(1-cos^2b)
0.1479+0.5cos^2b-0.5438cosb=0.5-0.5cos^2b
cos^2b-0.5438cosb-0.3521=0
(cosb-0.2719)^2=0.426
cosb-0.2719=0.6527
cosb=0.9246