Question

把1到8这8个数字填入正方形四条边的每三个圆中使每边上的三个数字之和相等

解决问题的依据是什么？如何给学生讲解

Answer 1

（偶有空闲，翻到老题目，有兴趣把它的解题思路重新理一理，不妨再写下来。不知出题者是否还有关注？）

根据题意， 参考图一，易知：
一，A+B+C+D+E+F+G+H=36 8个数之和等于36 A H D
二，因为 2*（A+B+C+D）+(E+F+G+H)=4X X是每边上3个数字之和，是整数 E G
所以 边上4个数字之和（E+F+G+H）是偶数。 B F C
三，因为（A+B+C+D+E+F+G+H)=36是偶数，（E+F+G+H）也是偶数，
所以（A+B+C+D）也是偶数 图一
四，因为（三）（A+B+C+D）是偶数，即2*（A+B+C+D）是4的整数倍
所以（根据2*(A+B+C+D）+(E+F+G+H)=4X) （E+F+G+H）也是4的整数倍
五，根据四，一，易知，（A+B+C+D）也是4的整数倍。

根据“四角上的数字之和，四边上的数字之和均是4的整数倍”的结论，就可以做给数字配对的工作了。先选取四角上的一组四个数字，再判断选择是否合理。
如，先选出1,3两个数字（先关注角上四个数字奇数的个数只能是0,2,4），与其配对的数字就只有2,6 4,8 5,7 （关注四个数字之和须是4的整数倍）。
例1：
1 5 6 选出 1,3, 2,6 这四个数 放到四角上 小的两个相对 大的两个相对**
8 4 根据 （（1+3+2+6）+（1+2+3+4+5+6+7+8））/4=12 即每边数之和是12**
3 7 2 根据每边数之和为12，填上四边上的数 正是余下的四个数 即是结果
**注：如果把两个小的数字放在相邻边，则此两数与余下的最大数之和1+2+8=11
不能满足要求。
例2：
1 4 选出 1,3 4,8 这四个数字放到角上。小的两个相对，大的两个相对，***
根据 （（1+3+4+8）+36）/4=13 .即边上4个数之和等于13. 可以填上
8 3 边上的数，与余下的数不符，可知此组合不能符合要求。 ***
***注：若把两个小的数放到相邻，则其与余下的最大数之和，即
1+3+7=11 不能符合要求。
例3：
1 7 选出 1,3 5,7 这4个数 放到角上 小的两个相对 大的两个相对****
根据 （（1+3+5+7）+（1+2+3+4+5+6+7+8））/4=13 即每边上的数之和是13****
5 3 根据“每边上的数之和等于13”，填上边上的数 与剩余的数不符，
所以知道这个组合不能成功
***注：同样，若先把1,3放在相邻边，则1+3+8=12，不能符合要求。

通过以上几个例子，可以看出解题思路，本题本质上是一道排列组合题目，
加上一些限定条件，引出了可以用“尽举法”来解题。
（有兴趣找出所有答案吗？）

Answer 2

1 8 3
5 7
6 4 2
每一条边之和都是12