Question

一道线性代数的题目

设a，b是n维列向量，a' b!=0，n阶方阵A=E+ab'，n>=3，则在A的n个特征值中，必然_________________

A、有n个特征值等于1
B、有n-1个特征值等于1
C、有1个特征值等于1
D、没有1个特征值等于1

参考答案是B，请问，为什么？
高手指点，大致说一下思路或过程即可，谢谢！
忘了说了，a'表示a的转置，E表示单位阵，a' b !=0表示a' b不等于0

Answer 1

这里，先给说一个结论，很好证的就是
如果x是阵C的特征值，那么E+C的特征值为 1+x
a'b≠0，可以知道 ab'也不会为0，而 r(ab')<=r(a)<=1
这说明ab‘的秩为1.这样 ab' 的特征值正好是n-1个0，有一个不为0
所以E+ab' 特征值正好有n-1个1，有一个不为1

Answer 2

b！什么意思啊？写出求A特征值的式子，把A=E+ab'代入，把E换了，把式子写成行列式成绩的形式，你试试看。