Question

高二数学选修2-1 平面的法向量

已知平面α内有三点A(-2,0,3)B(1,-4,1)C(0,3,6)及向量a=(3,4,5)，求向量a与α的法向量的余弦值。
最好能给个图哦~~~
谢谢~~~

Answer 1

解：向量AB=(1,-4,1)-(-2,0,3)=(3,-4,-2)；
向量AC=(0,3,6)-(-2,0,3)=(2,3,3).
向量AB∈α,向量AC∈α,
设 n=(x,y,z)为平面α的一个法向量，∵向量n⊥α, ∴向量n⊥向量AB，向量n⊥向量AC.
即，向量 n.向量AB=0, 向量n.向量AC=0.
即，(x,y,z).(3,-4,-2)=0.
3x-4y-2z=0.
(x,y,z).(2,3,3)=0,
2x+3y+3z=0.
另z=3,则， 3x-4y-6=0 (1), 2x+3y+9=0 (2).
联解之，得：x=-18/17, y=-39/17.
∴向量n=(-18/17,-39/17,3) 又已知向量 a=(3,4,5).
向量a.向量n=(3,4,5).(-18/17,-39/17,3)=-54/17-156/17+15=45/17.
|向量a|=√(3^2+4^2+5^2)=5√2.
|向量n|=√[(-18/17)^2+(-39/17)^2+3^2]=(√4446)/17.
设向量a与向量n的夹角为<a,n>,则,
cos<a,n>=a.n/|a|.|n|=(45/17)/{(5√2)*[√4446)/17]}=(45√2223)/(10*2223).
∴cos <a,n>=9√2223/4446.

Answer 2

会求平面的一个法向量吧。设其法向量（X,Y,Z），则向量AB与之积为0，向量BC与之积为0，得出三元二式方程组。假设X的值，假设一个好算的，然后就可以得到其法向量，向量之间求余弦会求吧。。这个不用图。图也不好画。。

Answer 3

向量AB=（3，-4，-2），向量BC=（-1，7，5），向量AC=（2，3，3）假设法向量为d=（x,y,z）
则由方程组： 3x-4y-2z=0 ,-x+7y+5z=0, 2x+3y+3z=0随便挑出2个比如是第一个和第二个，假设x=1，可以得到y=13/6,z=-17/6.即法向量为d=(1，13/6，-17/6)，由余弦公式可以得到。