Question

如图所示,Rt△ABC中,角ABC=90°,以AB为直径作○O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接DE。

（1）求证:直线DE是○O的切线。
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan角ACO的值。

Answer 1

ahhfshf，你好：

（1）连结BD，则∠ADB=90度，（半圆上圆周角是直角），
E是BC的中点，
∵DE是RT△BDC的斜边上的中线，
∴CE=DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD=R，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠DBO+∠DBC=90度，
∴∠BDE+∠BDC=90度，
∴直线DE为圆O的切线。
（2）OF=CF，
则EF是三角形OBC的中位线，
EF‖AB，
DE⊥BC，
OB=OD，四边形OBED是正方形，
连结OE，
OE是△ABC的中位线，OE‖AC，
∠A=∠EOB=45度，
∠ACO=∠COE（内错角相等），
作OM⊥AC，
OM=AM
设AB=1，BC=1，
AO=1/2，
MO=1/(2√2)，
AC=√2，
MC=√2-1/(2√2)=3√2/4，
tan∠ACO=MO/MC=√2/4/(3√2/4)
=1/3