Question

中考数学难题，请高手帮忙解决

343. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，
点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)。现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB ；再在
OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合.
(1) 设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2) 如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3) 在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，
使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若
不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.
主要是要回答第三个问题，谢谢

谢谢宋艳冬的回答，我对（1）、（2）问的答案满意，但对（3）的答案中说“因为如果以PE为直角边，那也就是说角EQP为直角，”有疑问？

请帮忙回答问题（3），急的

Answer 1

解:(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD,PF重合,则∠BPE=90°.∴∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+∠ABP=90°,∴∠拦手OPE=∠PBA.
∴Rt△POE∽Rt△BPA
∴.即.∴y=(0且当x=2时,y有最大值
(2)由已知,△PAB,△POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分
设过此三点的抛喊蚂物线为y=ax2+bx+c,则∴
y
(3)由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件
直线PB为简渗嫌y=x-1,与y轴交于点(0,-1).
将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),
∴该直线为y=x+1
由得∴Q(5,6).
故该抛物线上存在两点Q(4,3),(5,6)满足条件.

Answer 2

因为PF重合PD，所以PE为角OPD的中线，又因为角EPD等于180度减去角DPA，PB是角DPA的中线，所以角BPA等于角DPA的一半，又因为三角形BPA为直角三角形，所以角PBA等于90度减去角BPA，也就是等于角EPO,因为OE=Y,OP=X,AP=4-X,BA=3,所以Y/X=(4-X)/3,整合一下就可以得出关系式，因为X的平方不好表示所以就不整合了。
因为此图像开口向下，顶点是（0,4/3）所以，Y的最大值是4/3。
若D点在BC边上，则BD=BA,也就是说四边形PABD为边长是3的正方形，也就是PD垂直于OA,所以平P点坐标为（1，0），又因为OP=PF,所以四边形EOPF为边长为1的正方形，所以E点坐标为（0,1），而B点坐标是（4,3）
(听说^2这是平方符号)所以设方程式为Y=aX^2+bX+c,分别将三点代入，即可求出a,b,c,的值，再代回方程式即可。
不存在这样一个Q点，因为如果以PE为直角边，那也就是说角EQP为直角，这样的点只存在在以EP为直径，以EP中伍轮点为圆心的一个圆上，只有在这样的情况下才会出现直角，而这个圆已经与抛物线有过两个交点也就是E和P，一个圆最多与抛物线能有四个点，但是这个抛物线形状已定受B点牵制，它的对称轴的横坐标比P点大,也就是说，EP两点都在抛物线的左侧，而圆的直径有限制，P点又不是顶点，所以这样的圆与抛物线最多有两个点，不会再有第三个，腔数信所以不存在这样的Q点。
说的有毕段些混乱，请见谅，不过思路大概是没有问题的！

Answer 3

第3问，存在，B（4,3）
是一个，另外一个液斗是过物颤E点和PB平行的直线与（2）中的二次闹蚂磨函数的交点，舍去（0，1）点。