Question

一道很难很难的中考数学题

1.15分)某校数学研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论：一是发现抛物线 ( )，当实数 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数 变化时，若把抛物线 的顶点的横坐标减少 ，纵坐标增加 ，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加 ，纵坐标增加 ，得到B点坐标，则A、B两点一定仍在抛物线 上．
(1)请你协助探求出实数 变化时，抛物线 的顶点所在的直线的解析式；
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是抛物线的顶点，你能找出它吗？并说明理由；
(3)在他们的第二个发现启发下，运用“一般—特殊—一般”的思想，你能发现什么一般结论？请你用数学语言将你猜想表达出来，你的猜想成立吗？若能成立，请说明理由．
SORRY 有的地方弄不出来 抛物线是：T=ax^+2x+3(a不为0）
若把该抛物线的顶点横坐标减少a分之1，则纵坐标增加a分之1，得到A点坐标：若把顶点横坐标增加a分之1，纵坐标增加a分之1，得到B点坐标，则A、B两点一定在该抛物线上。（这是条件）
另外后面三小问抛物线都指：Y=ax^+2x+3 （1）问中的实数后面的一个空是a

Answer 1

.(1)当a＝1时，y=x2+2x+3的顶点坐标为(－1，2)，
当a＝－1时，y=－x2+2x+3的顶点坐标为(1，4).
可求得抛物线y=ax2+2x+3的顶点在直线y=x+3上.(或由抛物线y=ax2+2x+3的顶点坐标[-1/a,3-1/a]，得其顶点在直线y=x+3上)
(2)直线y=x＋3上有一个点(0,3)不是该抛物线的顶点.
抛物线y=ax2+2x+3的顶点坐标为(-1/a,3-1/a)，
当a≠0时，顶点的横坐标-1/a≠0，∴(0,3)点不是该抛物线的顶点
(3)得出猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),将其顶点的横坐标增加或减少1/a，纵坐标增加1/a，所得到的两个点一定仍在抛物线上.
理由：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,4ac-b^2/4a)，
∴将其横坐标减少1/a，纵坐标增加1/a，得A(-b+2/2a,4ac-b^2+4/4a).
同样可得B(-b+2/2a,4ac-b^2+4/4a).
把x=-b+2/2a代入y=ax2+bx+c=a(-b+2/2a)^2+b(-b+2/2a)+c=4ac-b^2+4/4a,
∴点A在抛物线y=ax2+bx+c上.同理可证点B在抛物线y=ax2+bx+c上.
∴所提出的猜想能够成立