Question

线性代数

已知p=（1,1,-1）是矩阵A=（2,-1，2；5，a，3；-1，b，-2）的一个特征向量。
（1）求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；
（2）问A能不能相似对角化？并说明理由。

Answer 1

1、根据特征向量和特征值的定义Ax=λx => Ap=(-1,a+2,b+1) = λ(1,1,-1) = (-1)p
所以 a= -3, b=0. 特征向量p对应的特征值为-1。
2、求A的特征值|λE-A|=(λ+1)^3 => λ=-1为3重特征值。
再求特征向量: (-E-A)=(-3,1,-2;-5,2,-3;1,0,1) =>r(-E-A)=2 =>只有一个线性无关的特征向量。
所以特征向量的个数小于矩阵A的阶数3，则不可相似对角化。