Question

已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4。求证：1/a=1/b+1/c

brucewang927
你的回答很好！你能否尝试用平面几何证明？！

Answer 1

由正弦公式得a/sinA=b/sinB=c/sinC,用a表示b和c，
b=sinB*a/sinA, c=sinC*a/sinA.
1/b+1/c=sinA/a*(1/sinB+1/sinC)
=sinA/a*(sinB+sinC)/(sinB*sinC)
由∠A：∠B：∠C=1:2:4，且∠A+∠B+∠C=π得
∠B=2∠A，∠C=4∠A，7∠A=π
=sinA/a*(sin2A+sin4A)/(sin2A*sin4A)
=sinA/a*2sin3A*cosA/[sin2A*sin(π-4A)]
=sin2A*sin3A/a*sin2A*sin3A
=1/a
证毕。

Answer 2

一个三角形ABC，若∠A=2∠B
易得a^2-b^2=bc（如果这个步骤不懂，HI上问我）

现在∠B=2∠A，∠C=2∠B
∴b^2-a^2=ac,
C^2-b^2=ab
相加得
c^2-a^2=a(b+c)
ac=c^2-ab-a^2

作AD=AC.连结CD可得一个等腰三角形
根据角度可得∠CDB=∠ACB=720/7°
又∵∠B=∠B
∴三角形CDB相似于三角形ACB
∴c+a/b=c/c-a
∴a^2-b^2=bc
结合：ac=c^2-ab-a^2
和a^2-b^2=bc
得ac=bc-ac
ab+ac=bc
两边同除abc
得
1/a=1/b+1/c