Question

已知函数f(x)=(x^3-6x^2+3x+t)e^x,t属于R

已知函数f(x)=(x^3-6x^2+3x+t)e^x,t属于R,(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c(a＜b＜c)处取得极值,求t的取值范围; 若a+c=2b^2,求t的值.(2)若存在实数t属于[0,2],使对任意的x属于[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,求正整数m的最大值.（明天给分）

Answer 1

本题是导数的综合运用问题，估计应该属于中高档题。
解答如下：
1、求导，有f'(x)=(x^3－3x^2－9x＋t＋3)e^x，故函数f(x)有三个极值点，即方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0有三个根，再设g(x)=x^3－3x^2－9x＋t＋3，即函数g(x)与x轴要有三个交点，也即函数g(x)的极大值要大于0，且其极小值要小于0。再对g(x)求导可知，g(x)的极大值为g(－1)，g(x)的极小值为g(3)。第二小问，a、b、c是方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0的三个根，即x^3－3x^2－9x＋t＋3=(x－a)(x－b)(x－c)，再利用对应项系数相等，是否可以得到t关于a、b、c中某个字母的表达式，建立t与之的函数式，比如得到t=h(a)，估计要确定下a的取值范围。
2、由于x∈[1，m]，则x>0，所以f(x)≤x等价于[f(x)/x]≤1，即函数f(x)/x在区间[1，m]上的最大值小于等于1，这个最大值中肯定含有字母m、t，转而将此看成是关于t的表达式，即此表达式在t∈[0,2]上有解问题来研究。
由于计算和打字比较复杂，思路分析如上，你自己去试下，我想应该没问题了。

Answer 2

已知函数f(x)=(x^3-6x^2+t)e^x,t∈R (1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c（a＜b＜c)处取到极值。①求t的取值范围；②若a+c=2b^2，求t的值； （2）若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m]，不等式f(x)≤x恒成立，试求正整数m的最大值。解：（1）①f'（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex
∵f（x）有3个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a，b，c．
令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，g'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减．
∵g（x）有3个零点∴∴-8＜t＜24．
②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc（2）不等式f（x）≤x，即（x3-6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe-x-x3+6x2-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立．
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）=e-x-x2+6x-3，则φ'（x）=-e-x-2x+6．
设r（x）=φ'（x）=-e-x-2x+6，则r'（x）=e-x-2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）=4-e-1＞0，r（2）=2-e-2＞0，r（3）=-e-3＜0
故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．
当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．
又φ（1）=e-1+4＞0，φ（2）=e-2+5＞0，φ（3）=e-3+6＞0，φ（4）=e-4+5＞0，φ（5）=e-5+2＞0，φ（6）=e-6-3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；
当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．

Answer 3

t是实数

Answer 4

啥意思？题目呢》

Answer 5

认真做~