Question

过抛物线Y^2=2PX的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1，y2，求证y1y2=-P^2

Answer 1

证明：设两个交点坐标为A(y1^2/2p,y1),B(y2^2/2p,y2)(利用点在抛物线上，必满足解析式)

设过焦点(-p/2，0)的直线方程为x=my-p/2(这样设就不用讨论直线斜率存不存在的问题，可能倾斜角为90度)

联立直线方程x=my-p/2与抛物线方程y^2=2px有

y^2=2p(my-p/2)即y^2-2pmy+p^2=0

直线与抛物线的交点就是A,B也就是上面方程的解是y1,y2

根据韦达定理有y1*y2=-p^2

证毕！

Answer 2

抛物线的焦点F（p/2,0）
设过F的直线是y=kx+b(k不等于0，因为当K=0时直线与抛物线只有一个交点，就是顶点)
把F点的坐标代入直线方程，消去b,得到y=kx-pk/2
把抛物线和直线方程联立方程组消去x,得ky^2-2py-kp^2=0
由根与系数的关系得 y1y2=-p^2