Question

高二椭圆问题

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与x轴的正半轴交于点A,0是原点，若椭圆上存在一点M使MA⊥MO，求椭圆离心率e的取值范围。

Answer 1

可以把M看成以OA为直径圆上的一点。
圆心坐标（a/2,0), 半径=a/2
圆的方程(x-a/2)^2+y^2=a^2/4

与椭圆方程联立，消去y,得解,
一个是x=a,另一个是ab^2/(a^2-b^2)
x=a是所交的点最大的，所以有
0<ab^2/(a^2-b^2)<a
2b^2<a^2
2(a^2-c^2)<a^2
e^2>1/2
又0<e<1
则√2/2<e<1

Answer 2

sd

Answer 3

若椭圆上存在点M，则椭圆与圆（x-a/2）^2+y^2=1有公共点（就是M，有多个）
把两个方程联立方程组消去一个未知数（比如Y），得到含X的一元二次方程，
4（a^2+b^2）x^2-4a^3x+a^4-a^2-a^2b^2=0
计算判别式恒大于0
a和b可取任何实数
椭圆的离心率的范围是大于0且小于1