Question

有两道数学题,请高手帮忙解答一下

⑴,已知（a+b+c）的平方=3（ab+bc+ca）且a,b,c都是实数，求证a=b=c
⑵,如果a,b,k为有理数,且b=ak+c/k,求证一元二次方程ax的平方+bx+c=0的两根也是有理数

Answer 1

（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c

b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数
（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c

b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数
（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c

b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数
（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c

b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数

Answer 2

⑴,已知（a+b+c）的平方=3（ab+bc+ca）且a,b,c都是实数，求证a=b=c

证明：将已知展开，得

a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bcc-+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
由于平方式都大于或等于0，为使上式成立，只能是
(a-b)^2=0，解得：a=b，
(b-c)^2=0，解得：b=c，
(c-a)^2=0，解得：c=a；

因此，a=b=c。

⑵,如果a,b,k为有理数,且b=ak+c/k,求证一元二次方程ax的平方+bx+c=0的两根也是有理数。

解：确定该方程的两根是否有理数，关键是看方程的系数和常数是否为有理数，以及判别式是否为有理数构成的完全平方式。

由b=ak+c/k推出：c=k*(b-ak)，可见，常数c也是由有理数a、b、k通过四则运算得到，所以c也是有理数。

判别式
△=b^2-4ac
=(ak+c/k)^2-4ac
=a^2k^2+2ac+(c/k)^2-4ac
=a^2k^2-2ac+(c/k)^2
=(ak-c/k)^2≥0

判别式为完全平方式，所以方程不但有实根，而且两根都是有理数。

Answer 3

（a+b+c）的平方-3（ab+bc+ca）
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=1/2*(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
1/2*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
因为上式=0,所以:a=b=c

b^2-4ac=(ak+c/k)^2-4ac=(ak)^2-2ac-(c/k)^2
=(ak-c/k)^2>=0
所以两根也是有理数