Question

如图 点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，

如图 点A是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP//x轴，向量AB*向量AP=9
（1）若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的方程
（2）若点P的坐标为（0，t），求实数t的取值范围

Answer 1

设AP的方程：y=x-b,则B(1+b,1).向量AB*向量AP=(1+b)^2=9,
∴ b=2,B(3,1)在椭圆C上, 9/(a^2)+(1/4)=1, a^2=12,椭圆C的方程为x^2/12+y^2/4=1.

Answer 2

解：由题意：椭圆的长轴长2a，短轴长为2b
∴A(0,-b)
∴直线AB的解析式为y=x-b
与椭圆连立得(b^2)(x^2)+(a^2)(x-b)^2-(a^2)(b^2)=0
∴(a^2+b^2)(x^2) -2(a^2)bx=0
∴x[(a^2+b^2)x - 2(a^2)b]=0
∴B的横坐标为2(a^2)b / (a^2+b^2)
再将其代入y=x-b可得B的纵坐标为[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)
∴B（2(a^2)b / (a^2+b^2)，[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)）
∴P（0，[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)）
∴向量AB=（2(a^2)b / (a^2+b^2)，2(a^2)b/(a^2+b^2)）
向量AP=（0，2(a^2)b / (a^2+b^2)）
∴向量AB*向量AP=[2(a^2)b / (a^2+b^2)]^2=9
∴2(a^2)b/(a^2+b^2)=3 ①

（1）∵P(0，1)
∴[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)=1 ②
①-②得 b=2
再将b=2代入①可得a=2√3
∴椭圆方程为 (x^2)/12 +(y^2)/4=1
（2）∵P(0，t)
∴[(a^2)b-(b^3)]/(a^2+b^2)=t ③
①-③得：b=3-t
再将b=3-t代入①得a=(3-t)√[3/(3-2t)]
∵a>b>0
∴由a>0得t<1.5
由b>0得t<3
由a>b得t>0
综上所述∴0<t<1.5