Question

高等代数考研习题求解

这些都是我要考的学校内部的一套习题集上的，我自己怎么都想不出来，请各位给予指点，谢谢！

1.
A是mxn阶阵，b是mx1向量，求证：A’Ax=A’b一定有解

2.
A，B都是实对称阵，它们的最大最小特征值分别为an,bn,a1,b1，矩阵A+B的最大最小特征值分别为un,u1 求证：un<=an+bn,u1>=a1+b1

3.
A是实对称阵，任意元素aij>0，设u1,......un是它n个特征值，求证：存在特征值u=max|ui|,1<=i<=n (即求证绝对值最大的特征值为正)

4.
设A=(A1,A2,....,Ak)是nxm阵求证|A’A|<=积(Ai'Ai) ,1<=i<=n

5.
设g是n维欧氏空间的非零向量，G是n阶实对称阵。若Rn中与g正交的任一非零向量Y，有Y’GY>0。求证：存在常数c0,s.t.c>c0时，G+cgg' 为正定阵

6.
矩阵A(aij)，B(bij)都为n阶正定阵，求证：H=(aij*bij)也是正定阵

7.
设f(x)=x'Ax是实二次型，假定A的前n-1个顺序主子式P1,....,Pn-1非零，求证：f 经可逆线性变换可化为下列标准型： f = P1*(y1*y1) + (P2/p1) *(y2*y2) +.....+ (Pn/Pn-1)*(yn*yn) ,其中Pn=|A|

8.
A，B是n阶复矩阵，且可交换。求证：
(1) 有公共特征向量 (会做)
(2) 若都可相似对角化，则存在同一个可逆复方阵T,s.t.T可将A、B同时化为对角阵

9.
n阶实对称阵A，B及A-B都是正定阵，求证： (B逆 - A逆) 也是正定阵

10.
设V1,V2,...,Vs 是数域P上的n维线性空间V的非平凡子空间，并且维数均小于n，求证：
(1) V中存在向量a不属于所有这s个子空间 (会做)
(2) 必有V中一组基a1,...,an,s.t.其中任一ai都不在V1,...,Vs中

题目有点多，还请各位大哥指点一二，十分感谢！
一楼的大哥，十分抱歉，实在是没分了，一共就这么多全在这了
就麻烦您帮我解答一下吧~ 是学校内部的习题集，有可能考到原题或者相似的，所以挺重要的，谢谢您了！

Answer 1

1.方程化为A^T(AX-B)=0，表示的是A列向量的一个线性组合和B的差要和A列向量张成的列空间正交。这个一定有解，这个解就是B在A列空间上的正交投影。(你的线代书应该有的，因为这就是我线代书上的一道例题)
2.A、B是实对称阵，即它们可对角化。记A的特征向量为a1、a2、……、an，B的特征向量为b1、b2、……、bn。对某一向量e，A+B表示的变换是Ae+Be。又设
ai=ki1b1+ki2b2+……+kin把e表示为A特征向量的线性组合：e=x1a1+x2a2+……+xnan(不小心把字母弄重复了，A、B特征只的最大最小值记成pn、qn，p1、q1吧)。现在你可以利用e关于A特征向量的线性表达式先取A变换，再把结果表示成关B特征向量的线性表达式；然后再利用e关于B的特征向量的表达式取B变换；把得到的结果加起来，再对比变换后的e和原来的e在B的特征向量上的取值。如果我没算错的话，应该就能证明到了。

天晚了(或者说太早了，呵呵)，我先睡睡再说。

Answer 2

五分太少吧，悬赏一下，本人不吝赐教