Question

已知椭圆C的左右焦点为F1F2，离心率为e，直线l:y=ex+a与x轴y轴分别交与点A，B

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点为F1F2，离心率为e，直线l:y=ex+a与x轴y轴分别交与点A，B，M是直线与椭圆C的以个公共点，P是点F1关于直线的对称点，设AM向量＝rAB向量，（1）证明：r＝1－e＾2；（2）若r＝3／4，三角形MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程

Answer 1

(1)，由题易求A、B的坐标为：A（-a/e，0），B（0，a）。
设M的坐标为（x，y），则：x^2/a^2+y^2/b^2=1，
且 y=ex+a。
向量AM、向量AB的坐标为：
向量AM=（x+a/e，y），向量AB=（a/e，a），
因为向量AM=r向量AB，所以 (x+a/e，y)=r(a/e，a)=(ra/e，ra)。
所以 x+a/e=ra/e ， y=ra， x=(r-1)a/e ， y=ra。
代入x^2/a^2+y^2/b^2=1，得：(r-1)^2/e^2+r^2*(a/b)^2=1。
又因为 (a/b)^2=1/(1-e^2) ，所以 (r-1)^2/e^2+r^2/(1-e^2)=1，
化简得：(r-1)^2+2e^2*(r-1)+e^4=0 ， (r-1+e^2)^2=0。
所以 r-1+e^2=0 ，即 r=1-e^2。
（2），若r＝3／4，则： e^2=1/4 ， e=1/2 。 (因为0<e<1)
M点的坐标为：M(-a/2， 3/4a)。
|MF1|=根号13*a/4，|MF2|=3根号5*a/4，|F1F2|=2a。
三角形MF1F2的周长为6，即|MF1|+|MF2|+|F1F2|=6，
所以 根号13*a/4+3根号5*a/4+2a=6，