Question

线性代数中有一题是N(A)⊥R(A的T次方）

题目是Datermine a basis of N(A),R(A的T次方）。Prove N(A)⊥R（A的T次方）。 N(A)和R(A的T次方）分别是什么意思啊？T是在A的右上方有一个小T，肯定不是次方的意思，是只是一个符号还是有什么特定的意思呢？求解这道题啊，谢谢啦。

Answer 1

任给 x in N(A), y0 = A^Ty in R(A^T), 则： Ax= 0，
<y0,x> = y0^T * x = (A^Ty)^T * x = y^T A x = y^T * 0 = 0
所以 N(A)⊥R（A的T次方）

补充：
A^T是 A的转置矩阵
N(A) = {x | Ax = 0}， 即A的核。
R(A^T）= {A^T(x) | x: n维列向量}， 即 A^T的相。

Answer 2

若r(a)=n，注意ax＝0的充分必要条件是x＝0。则对任意的非零x，有ax非零，于是x^ta^tax=(ax)^t(ax)>0，故a^ta正定。反之，设a^ta正定。若r(a)<n，则存在非零向量x使得ax=0，于是x^ta^tax=（ax)^t(ax)=0，矛盾。故a必满秩。

Answer 3

R(A^T) 一般理解是 A的转置矩阵的秩

能发来完整的原题吗?