Question

把将边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D',则他们的公共面积是多少

Answer 1

设CD与C'B'交于E，连接AE，
AB‘=AD=1，B'E²=AE²-AB'²=AE²-AD²=DE²，
所以 B'E=DE，
RT△AB'E与RT△ADE全等[SSS]，
B'E=DE,
∠B'AE=∠DAE=∠B'AD/2,
∠B'AD=90°-∠BAB'=90°-30°=60°,
AE=AB/(√3/2)=2√3/3,
∠B'AE=∠DAE=∠B'AD/2=30°,
B'E=DE=AE/2=√3/3,
公共部分的面积=S△AB'E+S△ADE=2S△AB'E=2*B'E*AB'/2=√3/3*1=√3/3.

Answer 2

设BC与B'C'交点为E,易证<B'AD为60度且被AE平分.
所以在Rt三角形中证得DE=1/2
所以三角形ADE面积=1/2*1*1/2=1/4
阴影面积=2*1/4=1/2