Question

积分 ∫x*arctanx/(1+x^2)^2dx

Answer 1

设arctanx=t, x=tant, dx=(sect)^2dt
∫x*arctanx/(1+x^2)^2dx=∫t * tant /(sect)^4 *(sect)^2dt=∫t * tant * (cost)^2 dt=∫t * sint * cost dt=(1/2)∫t * sin2t dt，分部积分后得(-1/4)tcos2t+(1/8)sin2t+C，再用万能公式把cos2t=(1-x^2)/(1+x^2)，sin2t=2x/(1+x^2)，t=arctanx代入即可。

Answer 2

我想这个题一定是你在分部积分以后遇到了困难
∫x*arctanx/(1+x^2)^2dx
=1/2∫arctanx/(1+x^2)^2d(1+x^2)^2
=1/2∫arctanxd(1+x^2)
=1/2[arctanx*(1+x^2)-∫1/(1+x^2)^2dx]
前面的好说就先解后面的
∫1/(1+x^2)^2dx
=∫1/(1+x^4+2x^2)dx
=1/2∫(1+x^2)+(1-x^2)/（1+x^4+2x^2)dx---这一步是在上面改写成一个加的形式和下面的抵消，这样可以用arctanax的公式求。
剩下的你自己计算吧。