Question

微分方程的答案有问题，请高手解答一下。

答案给的没有带常数c的答案，感觉很奇怪，是不是答案错了？
是怎么想到把C求出的？如果考试写有C的算错吗？我还真没想到。。。。郁闷

Answer 1

解：∵f(x)+2∫(0,x)f(t)dt=x²
∴f'(x)+2f(x)=2x...........(1)
∵方程(1)特真方程是r+2=0，即r=-2
∴方程(1)对应的齐次方程的通解是f(x)=Ce^(-2x) (C是积分常数)
又 设方程(1)的特解为f(x)=Ax²+Bx+C
代入方程(1)可求得A=0，B=1，C=-1/2
∴方程(1)的特解为f(x)=x-1/2
∴方程(1)的通解是f(x)=Ce^(-2x)+x-1/2 (C是积分常数)
∵当x=0时，由f(x)+2∫(0,x)f(t)dt=x²得f(0)=0
∴代入通解得C=1/2
故函数f(x)=[e^(2x)-1]/2+x。
说明：怎么想到把C求出你就要多观察，这就需要多做练习。如果考试写有C虽然不算错，但此题不能得满分。

Answer 2

不用有C，因为原方程令x=0有，可以得到f(0)=0，这是一个初使条件，可以把C消掉

解法:
两边求导有 f'(x)+2f(x)=2x
解得 f(x)=Ce^(-2x)+x-1/2
而f(0)=0,得到C-1/2=0,C=1/2
所以f(x)=1/2 e^(-2x) -1/2

Answer 3

c=1/2
f(0)=0 f(x)=x-1/2+ce^(-2x)
suoyi c=1/2

Answer 4

令x = 0得f(0)=0
对方程求导得
f'(x)+2f(x)=2x
或记为
y'+2y=2x
解此微分方程得
y =C e^(-2x) +x-1/2
将f(0)=0代入得C = 1/2

Answer 5

x=16
c=18

Answer 6

你好，对于这个题目，我想不通发表一下个人的观点。
第一步，这个题目可以转化为如何求一阶常系数非齐次线性微分方程的基本问题。这一步很好解决；
第二步，题目中有一个隐含的结论，就是当x=0的时候，会有f(x)=0；
通过这两个方面的综合，即可得出最后的结果，而且结果不含有C，因为这个C由第二步确定下来了；
兄弟，对于这种类型的题目，只需要多多总结就行！