Question

导数是复合函数如何求它的原函数？

例如f'(x)=根号（4x^2+2x+1)这样的，如何求f(x)
请详细过程写出。

Answer 1

求有复合函数导数的不定积分(反导数),通常都用换元积分法

这题的导数结果非常短,但积分结果可以非常长的

过程如下:答案是(1/8)(4x+1)√(4x^2+2x+1)+(3/16)ln[2√(4x^2+2x+1)+4x+1]+C

Answer 2

先将根号里的二次多项式配方，4x^2+2x+1=(2x+1/2)^2+(√3/2)^2,然后作三角代换x=1/2(√3/2tant-1/2),即可求出结果

Answer 3

f'(x)=√[ (2x+1/2)²+3/4 ] = (√3/2)·√( 1+[(2x+1/2)/(√3/2)]² )
dx = (√3/4)·d[(2x+1/2)/(√3/2)]
f(x) = ∫ f'(x)dx = ∫ (√3/2)√( 1+[(2x+1/2)/(√3/2)]² ) ·(√3/4)d[(2x+1/2)/(√3/2)]
= (3/8)·arctan [(2x+1/2)/(√3/2)] + C

Answer 4

换元