Question

求解一道数学题（要过程）

椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点为F1F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2,|PF1|=4/3,|PF2|=14/3
(1).求椭圆C的方程
(2).若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线L的方程 （要过程)

Answer 1

(1) 设P（x，y）

∵  PF⊥F1F2 

∴  F1F2=根号(PF2²-PF1²)=2倍根号5

∴  焦距c＝根号5

∴  a²＝b²＋5, F1(-根号5，0), F2(根号5，0）

又 ∵PF⊥F1F2 ，|PF1|=4/3,|PF2|=14/3

 ∴  |PF2|²=(x-根号5)²+y²=（14/3)²

 ∴  |PF1|²=(x+根号5)²+y²=（4/3)²

  ∴  x²=5,y²=（4/3)²

  ∵P点在圆上，将P点坐标带入圆的方程中，得到：

            5/a²+16/9b²=1

又因为前面得到a²＝b²＋5,

解这两个式，得到 a²＝9，b²＝4

故得出椭圆C的方程为   x²/9+y²/4=1  

(2) 设直线L为y＝kx＋b ，根据题意，

          圆x²+y²+4x-2y=0，即（x＋2)²＋(y-1)²=5 的圆心为 （－2，1）

     又因为 直线L过圆心，即过（－2，1）点。带入直线方程得到 

       b －2k＝1

又因为 A,B两点过椭圆，且关于M点对称。所以根据A,B两点求出一个关于b，k的方程式。

然后两式连系起来，接触k，b，直线方程即可求出解。

不过题中一直没有M点的出现提及，且没给出M点坐标，关于这点我很疑惑。

不过解题思路我已经告知。希望对你有帮助。

Answer 2

1、利用椭圆的第一定义，|PF1|=4/3,|PF2|=14/3，可以得到2a=6，又由于△PF1F2为直角三角形，可以求出(2c)平方=5，所以b^2=4，椭圆方程可以写出来了：x^2/9+y^2/4=1。
2、圆的圆心为(－2，1)，由于点M为线段AB的中点，可以用“设而不求”的方法来确定直线的斜率。斜率k=8/9。