Question

函数最值问题

在一个边长为1的正三角形ABC内，作一条平行BC的直线DE，交AB于D，AC与E，
求 梯形DECB的 周长ˇ2/面积的最小值
要代数推导过程

Answer 1

设AD的长为x,则可知DE=AE=AD=x;BD=EC=AB-AD=1-x;
梯形DECB的 周长=DE+BD+CE+BC=x+2(1-x)+1=3-x;
△ABC的面积=(√3/4)×1^2=√3/4;
△ADE的面积=(√3/4)·x^2;
则梯形DECB的面积=S△ABC-△ADE=(√3/4)·(1-x^2);
则
梯形DECB的 周长ˇ2/面积 = (3-x)^2 /[(√3/4)·(1-x^2)]=(4/√3)·[(x^2-6x+9)/(-x^2+1)]
=(4/√3)·[(6x-10)/(x^2-1)-1] 《通过整式除法得到,》
=(4/√3)·[ ( 8/(x+1) + 2/(1-x) ) -1].
令f(x)=8/(x+1) + 2/(1-x),则f'(x)= -8/(x+1)^2 + 2/(1-x)^2
当f'(x)=0时,则有 8/(x+1)^2 = 2/(1-x)^2
→4(1-x)^2 =(x+1)^2
解得,当0<x<1时的解为x=1/3.
则x=1/3是0<x<1时的唯一极值.
f(1/3)=9;
f(0.6)=10>9,说明f(1/3)=7是f(x)在此区间的极小值点,也是最小值点.
则则梯形DECB的 周长ˇ2/面积的最小值 = (4/√3)·[f(1/3)-1]
= 32/√3

另一种考虑方法:
梯形DECB的 周长ˇ2/面积 = (3-x)^2 /[(√3/4)·(1-x^2)]=(4/√3)·[(6x-10)/(x^2-1)-1]
=(4/√3)·[1/( (x^2-1)/(6x-10) ) -1]
令f(x)=(x^2-1)/(6x-10),即 周长ˇ2/面积 =(4/√3)·[1- 1/f(x) ].
那么,用整式除法算得f(x)= x/6 + 5/18 +(16/9)/(6x-10)
=(6x-10)/36 + (16/9)/(6x-10) +5/9
=-[(10-6x)/36 + (16/9)/(10-6x)] +5/9
≤-2√{[(6x-10)/36]·[(16/9)/(6x-10)] +5/9
=1/9
则(4/√3)·[1- 1/f(x) ]≥(4/√3)·[ 1/(1/9) -1 ] =32/√3.
即 梯形DECB的 周长ˇ2/面积的最小值为 32/√3