Question

一道数学思考题

若1995x³=1996y³=1997z³，xyz＞0，且（1995x²+1996y²+1997z²）的立方根=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根，求1/x+1/y+1/z的值

Answer 1

设s=1995的立方根*x=1996的立方根*y=1997的立方根*z，则1995x²+1996y²+1997z²=（1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根）*s²，所以s²=（1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根）²，s=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根，1/x=1995的立方根/s，1/y=1996的立方根/s，1/z=1997的立方根/s，1/x+1/y+1/z=1

Answer 2

设1995x³=1996y³=1997z³=k
即1995=k/x³,1996=k/y³,1997=k/z³
∴（1995x²+1996y²+1997z²）=k/x+k/y+k/z
1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根
=k的立方根*1/x+k的立方根*1/y+k的立方根*1/z
=k的立方根（1/x+1/y+1/z)
∴（1995x²+1996y²+1997z²）的立方根=k的立方根*（1/x+1/y+1/z)的立方根
又∵（1995x²+1996y²+1997z²）的立方根=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根
∴k的立方根*（1/x+1/y+1/z)=k的立方根*（1/x+1/y+1/z)的立方根
∴1/x+1/y+1/z=（1/x+1/y+1/z)的立方根
而xyz＞0，1995x³=1996y³=1997z³
∴x＞0,y＞0,z＞0
而立方根等于本身的正数只有1
即1/x+1/y+1/z=1