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证明：∵f(x)=arcsinx
∴f'(x)=1/√(1-x²)
==>f'(x)√(1-x²)=1
==>[f'(x)]²(1-x²)=1 (对上式两端平方)
==>(1-x²)f''(x)-xf'(x)=0 (对上式两端求导，并整理得)
对上式两端求n次导数，并应用莱布尼茨公式
得(1-x²)f(n+2)(x)-2nxf(n+1)(x)-2*[n(n-1)/2]f(n)(x)-xf(n+1)(x)-nf(n)(x)=0
整理得(1-x²)f(n+2)(x)-(2n+1)xf(n+1)(x)-n²f(n)(x)=0。证毕。
∴f'(x)=1/√(1-x²)
==>f'(x)√(1-x²)=1
==>[f'(x)]²(1-x²)=1 (对上式两端平方)
==>(1-x²)f''(x)-xf'(x)=0 (对上式两端求导，并整理得)
对上式两端求n次导数，并应用莱布尼茨公式
得(1-x²)f(n+2)(x)-2nxf(n+1)(x)-2*[n(n-1)/2]f(n)(x)-xf(n+1)(x)-nf(n)(x)=0
整理得(1-x²)f(n+2)(x)-(2n+1)xf(n+1)(x)-n²f(n)(x)=0。证毕。
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