Question

已知f(x)=x(1/(2^x-1)+1/2) 1.判断f(x)的奇偶性 2.证明f(x)>0

Answer 1

f(-x)=-x[1/(2^-x-1)+1/2]
=-x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=-x[(2^x-1+1)/(1-2^x)+1/2]
=-x[-1+1/(1-2^x)+1/2]
=-x[1/(1-2^x)-1/2]
=x[1/2^x-1)+1/2]
定义域x≠0，关于原点对称
所以是偶函数

x>0
则2^x>1
所以1/(2^x-1)+1/2>0
则f(x)>0
而x<0
因为是偶函数
所以关于y轴对称，所以也是f(x)>0
所以f(x)>0

Answer 2

1.f(x)=x(1/(2^x-1)+1/2) =x(2^x+1)/2(2^x-1)
f(-x)=(-x)(2^-x+1)/2(2^-x-1)=-x(1+2^x)/2(1-2^x)=x(2^x+1)/2(2^x-1) =f(x) 偶函数
2.偶函数 图像关于y轴对称
x>0时 2^x>1 f(x)>0
所以 f(x)>0