Question

已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-1)=0，则使f(x)＞0的x取值范

Answer 1

由于f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增（注1）
又f(-1)=0
∴f(1)=0
由f(x)单调性知，当x＞1或-1＜x＜0时，都有f(x)＞0
∴f(x)＞0的解集为(-1,0)∪(1,+∞)

注：现给出证明：
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数
任取0＜x1＜x2，则有
[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)＞0
又f(x)是奇函数，且定义域关于原点对称
∴f(x)=-f(-x)对于任意x≠0恒成立
∴[-f(-x2)+f(-x1)]/(x2-x1)＞0
即[f(-x1)-f(-x2)]/[(-x1)-(-x2)]＞0
∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数

Answer 2

解：∵f(x)为奇函数
∴f(-1)=-f(1)=0
∴f(1)=0
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数
∴f(x)>0=f(1)
∴x>1 即x属于（1，+∞)

Answer 3

(-1,0)和（1，+∞）

Answer 4

(1,+∞)