Question

高等数学极限求解，谢谢帮忙！

lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)

可能分子分母看不大清楚，说明一下，分子是[e^(1/x)]+1,分母是[e^(1/x)]-1，分子除以分母后乘以arctan(1/x)。
谢谢，我需要过程啊！

Answer 1

完整解如下：
令1/x=t ,t趋于无穷大，还要考虑是正无穷大还是负无穷大，因为他将影响 e^(1/x)和arctan(1/x)得值。再用洛必达法则和函数连续性。
1、当t趋于正无穷大时极限e^(1/x)为正无穷大，由罗比达法则得极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }＝1，而极限arctan(1/x)＝0.5pi
此时极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }arctan(1/x)＝0.5pi
2、当t趋于负无穷大时e^(1/x)=0，知极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }＝－1，而极限arctan(1/x)＝-0.5pi
此时极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }arctan(1/x)＝0.5pi
故极限x趋于0时极限{[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] }arctan(1/x)＝0.5pi （唯一）

Answer 2

令t=1/x，则原式=lim（t趋于正无穷大） [e^t+1]/[e^t-1] }arctant
而lim（t趋于正无穷大）arctant=pi/2 (pi=3.1415926 打不出来没办法哈）
lim（t趋于正无穷大） [e^t+1]/[e^t-1] =1（用洛必达法则）
所以原式=pi/2
注：lim（x趋近于0），x必须是趋于0正，如果是负的，答案也是负的了

Answer 3

分子e^(1/x)+1变成e^(1/x)-1+2，与分母化简为
1+2/e^(1/x)-1，x趋近于0，e^(1/x)-1趋向无穷，2/e^(1/x)-1趋向0，1+2/e^(1/x)-1趋向1
后项 arctan(1/x)，x趋近于0时，1/x趋向无穷，arctan(1/x)趋向正负派/2,
相乘后结果为正负派/2，与0的左右趋向有关

Answer 4

pi/2 就是 派/2

lim（x趋近于0） {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } arctan(1/x)
＝lim {[e^(1/x)+1]/e^(1/x)-1] } *lim arctan(1/x) 另外一个人回答的对，这里要讨论一下。
=1*pi/2
=pi/2