Question

如图 抛物线与x轴交于A（x1,0) B(x2,0)两点，且x1>x2，与Y轴交于C(0,4),其中x1 x2是方程x的平方—2x—8=0

如图 抛物线与x轴交于A（x1,0) B(x2,0)两点，且x1>x2，与Y轴交于C(0,4),其中x1 x2是方程x的平方—2x—8=0的两个根

问题：点P式线段AB上的动点，过点p做PE‖AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P坐标

Answer 1

(1)
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c (a≠0)
x²-4x-12=0
(x-6)(x+2)=0
x1=-2 x2=6
x=-2 y=0 x=6 y=0 x=0 y=-4分别代入抛物线方程：
4a-2b+c=0
36a+6b+c=0
c=-4
解得a=1/3 b=-4/3 c=-4
抛物线解析式为y=x²/3 -4x/3 -4
(2)
设点M坐标(m，0) (-2≤m≤6)
MN∥BC，直线MN斜率=[0-(-4)]/(6-0)=2/3
直线MN方程：y-0=(2/3)(x-m)，整理，得y=(2/3)(x-m)
直线AC方程：y-0=[(0+4)/(-2-0)](x+2)，整理，得y=-2x-4
y=(2/3)(x-m)代入y=-2x-4
(2/3)(x-m)=-2x-4
解得x=(m-6)/4 y=-2x-4=-2(m-6)/4 -4=-(m+2)/2
点N坐标((m-6)/4，-(m+2)/2)
S△CMN=S△AMC-S△AMN
=|AM|·|-4|/2-|AM|·|-(m+2)/2|/2
=2|m+2|-|m+2|²/4
=(-1/4)(|m+2|-4)²+4
-2≤m≤6 0≤|m+2|≤8
当|m+2|=4时，即m=2时，S△CMN有最大值4，此时M点坐标(2，0)
(3)
x=4代入抛物线方程：y=16/3 -16/3 -4=-4，点D坐标D(4，-4)
设点E坐标(e，e²/3 -4e/3 -4)，点F坐标(f，0)
令AE∥DF EF∥AD，直线AE和直线DF、直线EF和直线AD斜率分别相等。
A(-2，0) D（4，-4)
[(e²/3 -4e/3 -4-0)/(e+2)]=(0+4)/(f-4) (1)
[(e²/3 -4e/3-4-0)]/(e-f)=(0+4)/(-2-4) (2)
(1)/(2)
(e-f)/(e+2)=-6/(f-4)
解得f=e+6
代入(1)，整理，得
e²-4e-24=0
(e-2)²=28 e=2+4√7或e=2-4√7
f=e+6 f=8+4√7或f=8-4√7
即在x轴上存在满足题意的点F，坐标为F(8+4√7，0)或F(8-4√7，0)

Answer 2

解:设BP=a,由x1 x2是方程x的平方—2x—8=0的两个根,且x1>x2得x1=4,x2=-2
△ABC的面积=(4+2)*4/2=12
PE‖AC得△BPE的面积=12*(a/6)^2=(a^2)/3
△APC的面积=(6-a)*4/2=12-2a
所以,△BPE的面积+△APC的面积=(a^2)/3+12-2a
得a=3时,△BPE的面积+△APC的面积最小,即△CPE的面积最大
所以,x2+3=-2+3=1
所以,当△CPE的面积最大时，点P坐标是(1,0)