Question

如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C,OP于⊙O相交于D点，已知OA=2,OP=4.

如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C,OP于⊙O相交于D点，已知OA=2,OP=4.求⑴求＜POA的度数；⑵计算弦AB的长。

Answer 1

∵〈ODA=〈DPA+〈DAP，（外角等于不相邻二内角和），
〈ODA=2〈DPA，（已知），
∴〈DAP=〈DPA，
∵AP和圆相切，∴〈DAP=〈AOD/2，（同弧弦切角为圆心角的一半），
∵AC⊥OP，
∴〈AOP+〈OAC=90°，
〈CAP+〈OAC=90°，
∴〈CAP=〈AOC，
∴〈CAP=2〈DAP，
∴〈ODA=〈AOD，
又OA=OD=R，∴△OAD是正△，
∴〈AOD=60°，
∴〈APO=90°-60°=30°。
OD=OA=2，
AD是△AOD的高，
∴OC=CD=1，AC=√3OC=√3，
∴AB=2AC=2√3。（弦心距垂直平分弦）。