Question

数学的难题 求解答(要详解)

如图,已知点A(m,0)C(3,n)在直线y=-x-1上,抛物线y=ax2+bx-4经过A、C两点。
(1)求m和n的值及抛物线的解析式;
(2)动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E。
①求线段PE长的最大值;
②当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q,使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。
详细的步骤分析

Answer 1

（1）将点A(-1,0)、C(3,-4)代入抛物线方程得到两个关于系数a、b的方程：a-b-4=0和9a+3b-4=-4；
连解得：a=1，b=-3；抛物线解析式
y=x²-3x-4；

（2）将两曲线解析式相减得
PE=(-x-1)-(x²-3x-4)=-x²+2x+3……x∈[-1,3]；
PE=-(x-1)²+4，最大PE=4；

（3）PE取最大值时，对应
x=1，代入直线方程得到P点纵坐标y=-2；
另由直线与抛物线方程得交点C坐标(3,-4)；

当通过点P(1,-2)且与直线y=-x-1垂直的直线L与抛物线相交时，交点Q与P、C构成直角三角形；
直线L的斜率
k=1，故其方程为y+2=x-1，代入抛物线求解：(x-3)=x²-3x-4；
得 x1=2-√5，x2=2+√5；由L相应求得
y1=-1-√5，y2=√5-1；
Q点坐标：(2-√5,-1-√5)，(2+√5,√5-1)；

追问

为什么其方程为y+2=x-1

这是你自己写的步骤吗?好棒!为什么y+2=x-1

追答

不是，搜的。
因为直线L垂直于直线y=-x-1，所以直线L的斜率为1（互相垂直的直线斜率乘积为-1）
已知L斜率和线上一点P则可以列y-（-2）=x-1

Answer 2

1、把A、C坐标代入直线方程，求得m=-1 n=-4。所以将A(-1,0)，C(3,-4)代入抛物线解析式得：
a-b-4=0 ①
9a+3b=0 ②
联解得：a=1 b=-3,所以m=-1，n=-4，抛物线的解析式为y=x²-3x-4.
2、①根据直线方程两点式，点A、C所在直线方程为y=-x-1，抛物线的解析式为y=x²-3x-4，设点P、E的横坐标为x，则纵坐标分别为-x-1和x²-3x-4，PE=-x-1-(x²-3x-4)。
即PE=-x²+2x+3 线段PE最大=(-12-4)/-4 = 4
2、②-x²+2x+3=4 x²-2x+1=0 x=1，即当PE取最大值时，P点横坐标为1。
所以P、C、Q三点坐标分别为(1,2)、(3,-4)、(x,x²-3x-4)
根据两点间距离公式：
PC²=8
CQ²=x^4-6x³+10x²+9
PQ²=x^4-6x³+6x²+10x+5
假设存在这样的直角三角形，则PC²+CQ²=PQ²，即2x²-5x+6=0 △<0 所以不存在这样的直角三角形。

Answer 3

唉，刚做了，最后看到直线方程前面有个负号，白做了，加油吧，不论怎样自己做哈还是最好的！

追问

谢谢你一o(∩_∩)o