Question

数学 高三 理

证明:若实数x,y满足方程x^2-3y^2=2,则x,y不能都是有理数。

Answer 1

假设x和y都是有理数。设x=a/b，y=c/d，ab，cd分别互质。x²=2+3y²，那么a²=b²（2d²+c²）/d²，显然左侧是一个整数而且不能与b有任何质因子的重合，因而b²必须和d²中的质因子消去，b²丨d²，同理亦可以分析得到d²丨b²，所以b²=d²。所以这时可以化简整理原式得到新的方程a²-3c²=2b²。其中abc都是整数。甚至不是一般性可以假设abc都是非负整数。由于我们知道从模8来看完全平方数只能余0或1或4，因而可以针对等式两侧的可能性进行分析。首先ac同奇偶，因为右侧必然是偶数，如果a和c都是偶数，那么左侧模8余0。右侧亦如是，显然此刻b²只能模8余0或余4，不然余1等式不成立。那此时ab都是偶数，不互质，矛盾已出现。若ac同时为奇数，仍然考虑模8运算，左侧模8余1-3=-2=6，而右侧只能是0或2，因而根本无法成立。所以假设推翻，原方程无有理数解。

补：关于完全平方数模8的问题。整数分奇数和偶数讨论。如果是偶数，（2k）²=4k²，k亦无非奇偶两种，模8分别得到4或0。若奇数，（2k+1）²=4（k+1）k+1，注意到k（k+1）本身可以被2整除，则4k（k+1）可以被8整除，因而整个平方数模8余1。