Question

设x,y满足约束条件 x+y≥1;x-2y≥-2;3x-2y≤3 ,若x^2+4y^2≥a,恒成立,则实数a的最大值为

Answer 1

解1 作变换:x=x',y=y'/2,约束条件变为
2x'+y'>=2,x'-y'>=-2,3x'-y'<=3,
可行域是△ABC,其中A(0，2),B(5/2，9/2),C(1，0),
x^2+4y^2=x'^2+y'^2表示原点O(0,0)与可行域的动点(x',y')的距离d的平方，
d的最小值=O到CD:2x'+y'-2=0的距离=2/√5，
∴a的最大值=4/5.

解2 画示意图知，当椭圆x^2+4y^2=a①与直线x+y=1②相切时a取最大值。
由②，x=1-y,代入①，5y^2-2y+1-a=0,
△(y)/4=1-5(1-a)=0,
解得a=4/5,为所求。