Question

如图,在正方形ABCD中,点G是边BC上任意一点,DE⊥AG,垂足为E,延长DE交AB于点F，在线段AG上取点H，使得AG=DE

如图,在正方形ABCD中,点G是边BC上任意一点,DE⊥AG,垂足为E,延长DE交AB于点F，在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH，求证:角ABH=角CDE

Answer 1

证明：由于DE+GH=AG，可得AH=DE
又因为ABCD为正方形，所以AD=AB
在直角三角形ADE中,角ADE+角DAE=90度，三角形ABG中，角DAE+角BAG=90，因此
角BAG=角ADE，
所以，三角形ABH与三角形DAE全等
得到角ABH=角DAE，所以角ABH+角ADE=90，
同时角CDE+角ADE=90，所以角CDE=角ABH

Answer 2

证明：
因为DE⊥AG，所以⊿DAF∽⊿AEF （直角三角形其中两个角相等）
所以∠FAE=∠ADF （1）
DA=AB （2）
因为∠ABG=∠DAF=90度 （3）
由（1）（2）（3）得⊿ABG≌⊿DAF （角边角定理）
所以DF=AC
又AG=DF=DE+HG=DE+EF，所以FE=HG
且AF=BG （前面证全等）
所以⊿AFE≌⊿BGH (HL定理）
所以∠BHC=∠AEF=90度
所以EF//BG
所以∠AFE=∠ABH 同位角
又∠AFE=∠CDE 内错角
所以∠ABH=∠CDE 证毕

Answer 3

因为DE垂直于AG，角DCB是直角，从而角DEG与角DCB互补
所以角CDE与角AGC互补（若四边形的一对角互补，则另一对角也互补）
又因为角AGB与角AGC互补，所以角AGB=角CDE
可以证明三角形ABH与三角形AGB相似，从而角ABH=角AGB
所以角ABH=角CDE