Question

设u=f(x,y,z)=xyz,而z是由方程x³+y³+z³-3xyz=0所确定的x,y的函数，求u对x和y的偏导数

设u=f(x,y,z)=xyz,而z是由方程x³+y³+z³-3xyz=0所确定的x,y的函数，求u对x和y的偏导数

Answer 1

　　对方程
　　　x³+y³+z³-3xyz = 0
求微分，得
　　　3x²dx+3y²dy+3z²dz-3(yzdx+xzdy+xydz) = 0，
整理，得
　　　dz = [(x²-yz)/(xy-z²)]dx+[(y²-xz)/(xy-z²)]dy。 (*)
　　再对
　　　u = f(x,y,z) = xyz
求微分，得
　　　du = yzdx+xzdy+xydz，
把 (*) 代入，得
　　　du = yzdx+xzdy+xy{[(x²-yz)/(xy-z²)]dx+[(y²-xz)/(xy-z²)]dy}
　　　　 = ……， (整理成 (*) 的形状)
则
　　　əu/əx = ……，əu/əy = ……。

Answer 2