Question

高等函数

证明方程4x=2^x在（0,1）内有且仅有一实根.
这道题的过程是：先用零值定理证出函数在（0,1）区间内至少存在一个实根.
然后在求函数的一阶导判断其单调性.证出函数的一阶导大于0
说明他是一个单调递增的函数.最后得证函数在（0,1）区间内有
且仅有一个实根.
这道题我不明白两点
1. 为什么证出函数是单调增的就能得出函数在(0,1)区间有且仅有一根是
根
2.如果证出函数要是单调递减的呢？
如果是单调减还能证出有且仅有一个实根么？

Answer 1

令f(x)=4x-2^x
再求导。f'(x)=4-2^x*ln2
可知在(0,1)内该函数恒大于0
所以在(0,1)函数递增。所以在(0,1)内，最大值为f(1)=2 最小值f(0)=-1
又因为在(0,1)只有一个单调性。所以只穿过x轴一次。所以有且只有一根。
当f'(x)＜0时，该函数单调递减。
在x＞log2(4/ln2)这段区间内，递减。

Answer 2

一直是单调，在0时是大于（或小于），由于单调（不管是增还是减），在1时，小于0（大于0）。具体的单调，要求一阶导数求。

Answer 3

不管单调递增还是递减，只要结合有零点存在的条件，都可以说明有且仅有一个实根。

您自己画个图啊，如果一段连续的曲线和横坐标轴至少有一个交点，而且是单调递增或者单调递减的，那这个曲线死活都只能和横坐标轴相交一次，即只有一个零点。

Answer 4

解令f(x)=4x-2^x
f(x)=0就是方程所要的解
f'(x)=4-2^x*ln2
再对f'(x)求导得
f''(x)=－（㏑2）²·2^x此函数小于0
说明f'(x)单调递减
又∵f'(1)＞0
∴f(x)在(0,1)内递增
f(0)=-1,f(1)=2
所以f(x)=0在(0,1)中有且仅有1实根
因为单调递增且在(0,1)内连续所以f(x)在(0,1)内会取进-1到2的所有值而且一一对应
所以在(0,1)内有且仅有一实根