Question

高二数学题 圆锥曲线

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex+a与轴轴分别交于两点
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且AM=λAB证明:λ+e^2=1
（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当ΔPF1F2为等腰三角形时,求e的值
要过程

Answer 1

(1)直线l与x轴交于A(-a^2/c,0)
设切点M坐标为(x0,y0)
x^2/a^2-y^2/b^2=1求导得
2x/a^2-2yy'x/b^2=0即y'x=b^2x0/a^2y0
由双曲线在M点处切线的斜率等于MA两点间的斜率
得y'x=y0/(x0+a^2/c)=b^2x0/a^2y0
b^2x0^2-a^y0^2+a^2b^2x0/c=a^2b^2+a^2b^2x0/c=0
即x0=-c M(-c,-b^2/a)
则切线的斜率为c/a
即直线l与双曲线只有一个交点

(2)xA=-a^2/c xM=-c xB=0
由AM=λAB得xM-xA=-λxA即λ=-b^2/a^2
λ+e^2=-b^2/a^2+c^2/a^2=1 得证

(3)F1到直线l的距离d=|-c^2/a+a|/√(a^2+c^2)
若|PF1|=|F1F2|=2d 解得e=√3/3<1(舍)
由yP/2=c(xP-c)/2a+a
yP/xP+c=-a/c
得xP=c(c^2-3a^2)/(a^2+c^2)
xP=0时|PF1|=|PF2| 此时e=√3