Question

求解大一微积分应用题。

1，欲造一长方体的盒子，所用材料其底部的价格为顶与侧面价格的两倍，若此盒容积为234 立方厘米，各边长为多少时，其造价最低。
2，设销售收入R（单位：万元)与花费在两种广告宣传的费用x，y(单位：万元）之间的关系为R（x，y）=15+14x+32y-8xy-2x�0�5-10y�0�5 问，在广告费用不限的情况下，求使总利润最大的广告策略；若提供的广告费用为1.5万元，求使总利润最大的广告策略。

Answer 1

1.设长方体的底面长，宽分为xcm,ycm。高为zcm由题意得xyz=234,即xyz-234=0……(1)不妨设顶与侧面价格为1/cm2,则底部的价格为2/cm2总造价u=2xy+xy+2xz+2yz=3xy+2xz+2yz……(2)构造拉格朗日函数L=(2)+λ(1)=u+λ(xyz-234)=3xy+2xz+2yz+λxyz-234λ……(3)对(3)式求一阶偏导数，并组成方程组如下(共3个)Lx=3y+2z+λyz=0……(4)Ly=3x+2z+λxz=0……(5)Lz=2x+2y+λxy=0……(6)联立(1)(4)(5)(6)解得x=三次根号(156)y=三次根号(156)z=3/2倍三次根号(156)代入(2)得最低造价u=18倍三次根号(3042)(2)广告费用不限的情况下直接求Rx=14-8y-4x=0Ry=32-8x-20y=0两式联立得x=3/2,y=1即x=3/2,y=1时R最大，为81/2万元提供的广告费用为1.5万元时多了限制条件x+y=1.5，即x+y-1.5=0……(1)则构造拉格朗日函数L=R（x，y）+λ(x+y-15=0)L分别对x,y求一阶偏导数得Rx=14-8y-4x+λ=0……(2)Ry=32-8x-20y+λ=0……(3)联立(1)(2)(3)得x=0,y=3/2所以x=0,y=3/2时，R最大，为81/2万元