Question

一元函数积分的几何应用

当f(x)在[a,b]上非负连续，则这段曲线绕x轴旋转的体积为∫(a,b) PI*f(x)*f(x)*dx而表面积为∫(a,b) 2*PI*f(x)*dS，为什么这里是dS，而不是dx呢

Answer 1

旋转体的体积注意两种切割方式，纵向旋转时，举个例子，取[x,dx]这小段，把相当于求无限个小圆环的体积，这里每个小圆环拉开之后相当于一个矩形，长度为2兀x（以绕y轴为例），宽是dx，得到底面积再乘以高f（x）就是圆环体积，然后进行积分。横向旋转时，取一段[x,dx]，相当于求无限个小矩形长条的体积之和，每一段可看成兀Rdx（底面积x高），R为函数的纵坐标。 需要注意的是，旋转面的面积的微分元是ds，而不是dx，因为求面积时可以看成把弯曲的弧拉直再求，形象的可以想象成一个被压憋的足球，充满气过后它的表面积不变，但是宽度发生了变化。

Answer 2

回复 天宇兰阳 的帖子关于：表面积为∫ (a,b) 2 X 兀 X f(x) dS，为什么这里是dS，而不是dx的问题：希望你联系图像，是否有空间感觉？是某段曲线（即某段弧长）绕某轴旋转得到的一个曲面，既然是曲线，计算就应该弧长的微分形式，将该段曲线用XOY平面的剪刀剪开，铺平，取dx段对应上去的ds,积分式子中 : 2X兀Xf(x)是长度 f(x)=Y ds就是宽度。 整个面积就是长乘以宽的微分表达，在整个区间积分，既得上式。其实也可以化成dx的形式 ds=(dx)^2+(dy)^2很高兴回答你的问题，不知道是否满意。望大家指教！谢谢