Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1的离心率是（根号6）/3

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1的离心率是（根号6）/3，过椭圆上一点M做直线MA，MB分别交椭圆于A,B两点，且斜率分别为K1 K2，若点AB关于原点对称，则K1乘k2的值是 （2）若点M的坐标为（0，1），k1+k2=3，求证AB过定点，并直线AB的斜率k的取值范围

Answer 1

解：椭圆方程为：x²/a²+y²/b²=1①，e=√6/3=√(a²-b²)/a。M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)。直线MA的方程为：y-y1=k1(x-x1)。直线MB的方程为：y-y2=k2(x-x2)。由题意知点A，B关于原点对称，则有：y1=-y2，x1=-x2。则直线MA的斜率k1=(y-y1)/(x-x1)，直线MB的斜率k2=(y+y1)/(x+x1)，k1*k2=(y²-y1²)/(x²-x1²)②。∵A(x1，y1)点在同一个椭圆上，x1²/a²+y1²/b²=1③。将③和①相减，则有k1*k2=(y²-y1²)/(x²-x1²)=-b²/a²=(c²-a²)/a²=(c/a)²-1=e²-1=-1/3。
﹙2﹚、如果M(0，1)，则有k1*k2=(y²)/(x²-1)④，k1+k2=3⑤