Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式组f（m^2-6m-5）+f（8n-n^2）≤0,0≤n≤7，则m+2n的取值范围是

Answer 1

根据已知可得  -f(8n-n^2)= -f[1-(n^2-8n+1)]=f(1+(n^2-8n+1)=f(n^2-8n+2) ，

因此由 f(m^2-6m-5)+f(8n-n^2)<=0 得 f(m^2-6m-5)<= -f(8n-n^2)=f(n^2-8n+2) ，

由于 f(x) 在 R 上为增函数，

所以 m^2-6m-5<=n^2-8n+2 ，

化为 (m-3)^2<=(n-4)^2 ，

分解得 (m+n-7)(m-n+1)<=0 ，

将 (m，n) 看作坐标平面内点的坐标，那么满足条件的点的范围如图，

令 t=m+2n ，则 n=(t-m)/2 ，它表示斜率为 -1/2 的平行直线族，

平移直线使之过 C（-1，0），此时 m+2n 最小为 -1 ，

过 B（6，7），m+2n 最大为 20 ，

所以 m+2n 取值范围是 [-1，20] 。

追问

还有其他做法么 除了线性规划 能不能用恒成立能成立的方法做?

追答

暂没想出其它方法。希望我的解法对你有所启迪和帮助。