Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)=2x,且f(0)=1, (1)求二次函数f(x)的

已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)=2x,且f(0)=1,
(1)求二次函数f(x)的解析式
(2)在区间[-1,1/2]上，函数y=f(x)的图像恒在直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围！要过程

Answer 1

1)由f(0)=1设f(x)=ax^2+bx+1
f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)-ax^2-bx=a(2x+1)+b=2ax+a+b=2x
对比系数得：2a=1, a+b=0
解得a=1/2, b=-1/2
所以f(x)=(1/2)x^2-(1/2)x+1

2)在[-1,1/2], (1/2)x^2-(1/2)x+1>2x+m 恒成立
即m<(1/2)x^2-(5/2)x+1=g(x)
g(x)=(1/2)(x^2-5x)+1=(1/2)(x-5/2)^2-17/8
当x在[-1,1/2]时，g(x)单调减，最小值为g(1/2)=(1/2)*4-17/8=-1/8
因为m<g(x)恒成立，所以得m的取值范围是m<-1/8